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一位植物心理学家发明了一种树木分类系统#xff0c;每棵树通过三个测量值 (x,y,z)(x, y, z)(x,y,z) 来表示#xff0c;每个测量值的范围是 [0,255][0, 255][0,255]#xff0c;因此每棵树可以看作是三维空间中的一个点。
核心要求#xff1a;对于最多 50005000500…题目分析一位植物心理学家发明了一种树木分类系统每棵树通过三个测量值(x,y,z)(x, y, z)(x,y,z)来表示每个测量值的范围是[0,255][0, 255][0,255]因此每棵树可以看作是三维空间中的一个点。核心要求对于最多500050005000棵树需要统计每棵树的最近邻居距离并按照距离区间生成直方图。距离区间定义为第000区间最近邻居距离1 11第111区间1≤1 \leq1≤最近邻居距离2 22第222区间2≤2 \leq2≤最近邻居距离3 33…第999区间9≤9 \leq9≤最近邻居距离10 1010如果某棵树的最近邻居距离did_idi满足j≤dij1j \leq d_i j1j≤dij1其中jjj为整数则该树对应第jjj个区间计数加111。输入格式多行数据每行包含三个整数表示一棵树的坐标。输入以三个000结束。输出格式一行输出101010个整数每个数占444个字符宽度右对齐。解题思路1. 问题本质本题本质上是一个三维空间中的最近邻搜索问题。对于NNN个点需要找出每个点的最近邻距离然后统计这些距离落在101010个不同区间中的数量。2. 数据规模分析题目说明最多有500050005000棵树这是一个关键信息。对于500050005000个点如果采用最直接的暴力法每个点与其他所有点计算距离时间复杂度为O(N2)25×106O(N^2) 25 \times 10^6O(N2)25×106次距离计算。每次距离计算涉及三次减法和三次乘法或者三次平方运算在一般的评测系统中这样的计算量是可以接受的。UVa 的评测环境通常可以在111秒内完成约10710^7107次基本运算因此暴力法可行。3. 距离计算优化在计算欧氏距离时实际使用的是平方距离进行比较d2(x1−x2)2(y1−y2)2(z1−z2)2d^2 (x_1 - x_2)^2 (y_1 - y_2)^2 (z_1 - z_2)^2d2(x1−x2)2(y1−y2)2(z1−z2)2使用平方距离有以下好处避免开方运算提高计算效率避免浮点数精度问题由于比较的是距离平方距离区间判断需要进行相应转换。对于区间[j,j1)[j, j1)[j,j1)对应的平方距离区间为[j2,(j1)2)[j^2, (j1)^2)[j2,(j1)2)。4. 算法步骤数据读入逐行读取三个整数存储到结构体数组中直到遇到(0,0,0)(0, 0, 0)(0,0,0)。最近邻搜索对于每个点iii遍历所有其他点jjjj≠ij \neq iji计算平方距离记录最小值。直方图统计根据最小平方距离判断所属区间对应计数加111。格式化输出使用setw(4)\texttt{setw(4)}setw(4)控制输出格式。5. 复杂度分析时间复杂度O(N2)O(N^2)O(N2)其中NNN为树的个数最坏情况下N5000N5000N5000总计算量约为25×10625 \times 10^625×106次距离计算。空间复杂度O(N)O(N)O(N)用于存储树的坐标。6. 注意事项输入结束标志为(0,0,0)(0, 0, 0)(0,0,0)但该行不参与计算。距离区间判断时需注意边界条件当最小距离恰好等于jjj时应归入区间jjj。输出格式要求严格每个数字占444个字符宽度右对齐。代码实现// Trees a Crowd// UVa ID: 152// Verdict: Accepted// Submission Date: 2016-02-02// UVa Run Time: 0.046s//// 版权所有C2016邱秋。metaphysis # yeah dot net#includebits/stdc.husingnamespacestd;structtree{intx,y,z;};intn;tree trees[6000];inlineintpow(intx){returnx*x;}inlineintsquareOfDistance(tree near,tree far){returnpow(near.x-far.x)pow(near.y-far.y)pow(near.z-far.z);}voidfind(){intdistance[10]{0};for(inti0;in;i){intmin255*255;for(intj0;jn;j){if(ij)continue;if(squareOfDistance(trees[i],trees[j])min)minsquareOfDistance(trees[i],trees[j]);}for(inttop0;top10;top)if(top*topminmin(top1)*(top1)){distance[top];break;}}for(inti0;i10;i)coutsetw(4)rightdistance[i];coutendl;}intmain(){cin.tie(0);cout.sync_with_stdio(false);intx,y,z;n0;while(cinxyz,x||y||z)trees[n](tree){x,y,z};find();return0;}样例验证使用题目提供的样例输入10 10 0 10 10 0 10 10 1 10 10 3 10 10 6 10 10 10 10 10 15 10 10 21 10 10 28 10 10 36 10 10 45 0 0 0程序输出2 1 1 1 1 1 1 1 1 1与题目要求的输出一致。总结本题是一个典型的最近邻问题虽然数据规模允许使用O(N2)O(N^2)O(N2)的暴力算法但代码中仍然进行了适当优化使用平方距离避免开方运算使用内联函数减少函数调用开销使用整数运算避免浮点数精度问题对于更大的数据规模可能需要使用更高效的算法如kkk-d 树或空间分割技术。但在本题的限制下暴力算法简洁有效。
