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SGD with Momentum 实现 class SGDMomentumOptimizer: def __init__(self, lr: float 0.01, momentum: float 0.9): self.lr lr self.momentum momentum self.velocity None def step(self, params: np.ndarray, grad: np.ndarray) - np.ndarray: if self.velocity is None: self.velocity np.zeros_like(params) self.velocity self.momentum * self.velocity self.lr * grad return params - self.velocity # 2. Adam 实现 class AdamOptimizer: def __init__(self, lr: float 0.01, beta1: float 0.9, beta2: float 0.999, eps: float 1e-8): self.lr lr self.beta1 beta1 self.beta2 beta2 self.eps eps self.m None self.v None self.t 0 def step(self, params: np.ndarray, grad: np.ndarray) - np.ndarray: if self.m is None: self.m np.zeros_like(params) self.v np.zeros_like(params) self.t 1 self.m self.beta1 * self.m (1 - self.beta1) * grad self.v self.beta2 * self.v (1 - self.beta2) * (grad ** 2) # 偏差校正 m_hat self.m / (1 - self.beta1 ** self.t) v_hat self.v / (1 - self.beta2 ** self.t) update self.lr * m_hat / (np.sqrt(v_hat) self.eps) return params - update # 3. Nadam 实现 (核心差异在此) class NadamOptimizer: def __init__(self, lr: float 0.01, beta1: float 0.9, beta2: float 0.999, eps: float 1e-8): self.lr lr self.beta1 beta1 self.beta2 beta2 self.eps eps self.m None self.v None self.t 0 def step(self, params: np.ndarray, grad: np.ndarray) - np.ndarray: if self.m is None: self.m np.zeros_like(params) self.v np.zeros_like(params) self.t 1 self.m self.beta1 * self.m (1 - self.beta1) * grad self.v self.beta2 * self.v (1 - self.beta2) * (grad ** 2) # 偏差校正 m_hat self.m / (1 - self.beta1 ** self.t) v_hat self.v / (1 - self.beta2 ** self.t) # Nadam 关键步骤合并当前动量与当前梯度 # 这里实现了公式: η / (√v_hat ε) * [ β1 * m_hat (1 - β1) * grad / (1 - β1^t) ] m_nesterov self.beta1 * m_hat (1 - self.beta1) * grad / (1 - self.beta1 ** self.t) update self.lr * m_nesterov / (np.sqrt(v_hat) self.eps) return params - update # 训练与轨迹记录函数 def optimize_and_track(optimizer, init_point: np.ndarray, grad_func: Callable, n_iters: int 150) - Tuple[np.ndarray, np.ndarray]: point init_point.copy() trajectory [point.copy()] for i in range(n_iters): grad grad_func(point) point optimizer.step(point, grad) trajectory.append(point.copy()) return np.array(trajectory), point # 参数设置与实验运行 np.random.seed(1770170400071 0xFFFFFFFF) # 使用给定种子的一部分确保可复现 init_point np.array([-8.0, 8.0]) # 故意选择一个远离最优点的起点 optimizers { SGDMomentum (lr0.02): SGDMomentumOptimizer(lr0.02, momentum0.9), Adam (lr0.1): AdamOptimizer(lr0.1), # Adam通常可以使用更大的学习率 Nadam (lr0.1): NadamOptimizer(lr0.1), } results {} for name, opt in optimizers.items(): traj, final_point optimize_and_track(opt, init_point, booth_gradient, n_iters150) results[name] {traj: traj, final: final_point} print(f{name}: 终点 {final_point}, 最终函数值 {booth_function(*final_point):.6f})第三部分可视化分析与性能解读现在我们绘制损失函数的等高线图并将三种优化器的轨迹叠加其上直观感受其收敛路径的差异。# 创建可视化图形 x np.linspace(-10, 10, 400) y np.linspace(-10, 10, 400) X, Y np.meshgrid(x, y) Z booth_function(X, Y) plt.figure(figsize(15, 5)) # 定义颜色和标记 colors [red, blue, green] markers [o, s, ^] for idx, (name, result) in enumerate(results.items()): plt.subplot(1, 3, idx 1) # 绘制等高线 levels np.logspace(-1, 3, 20) # 对数间隔的等高线更好展示优化路径 plt.contourf(X, Y, Z, levelslevels, alpha0.6, cmapcm.coolwarm) plt.contour(X, Y, Z, levelslevels, colorsblack, alpha0.4, linewidths0.5) # 绘制优化轨迹 traj result[traj] plt.plot(traj[:, 0], traj[:, 1], colorcolors[idx], linewidth2.5, label优化路径) plt.scatter(traj[::15, 0], traj[::15, 1], colorcolors[idx], markermarkers[idx], s80, edgecolorsblack, zorder5, label迭代点) plt.scatter(traj[0, 0], traj[0, 1], colorgold, s200, marker*, edgecolorsblack, zorder10, label起点) plt.scatter(traj[-1, 0], traj[-1, 1], colorlime, s200, markerX, edgecolorsblack, zorder10, label终点) plt.scatter(1, 3, colorwhite, s150, markerP, edgecolorsblack, zorder9, label全局最优点 (1,3)) plt.title(f{name}\n终点值: {booth_function(*result[final]):.3e}, fontsize13) plt.xlabel(x) plt.ylabel(y) plt.xlim([-10, 10]) plt.ylim([-10, 10]) plt.legend(locupper right, fontsize9) plt.grid(True, alpha0.3) plt.suptitle(优化器算法在Booth函数上的轨迹对比 (迭代150步), fontsize16, y1.02) plt.tight_layout() plt.show()3.1 结果分析运行上述代码我们可以得到三张并排的轨迹图。基于典型的运行结果由随机种子1770170400071控制我们进行如下深度分析SGD with Momentum:轨迹特征路径呈现明显的“之”字形振荡尤其在沟谷区域。这是经典动量“冲过头”效应的典型表现。虽然最终能收敛到最优点附近但路径曲折收敛速度较慢。学习率敏感性我们设置了相对较小的学习率0.02。增大学习率会导致振荡加剧甚至发散减小则会进一步降低收敛速度。Adam:轨迹特征路径更加直接、平滑初期收敛速度明显快于SGDMomentum。自适应学习率机制使其在初始化后能快速调整方向奔向最优区域。后期行为在接近最优点时由于梯度变小自适应学习率缩放因子√v_hat_t也变小导致步长迅速收缩。这既是优点